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manuel de calcul numérique appliqué

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Ce livre de calcul appliqué trouve son origine dans un cours dispensé aux étudiants de maîtrise de physique et applications (MPA) À l’université Paris VII depuis 1984, ainsi que dans quelques préoccupations de recherche au laboratoire. Ce manuel ne constitue pas à proprement parler un cours au sens usuel du mot, et si certains chapitres ont des liens évidents et s’enchaînent naturellement, d’autres, plus isolés, ont été réunis sous forme d’annexes pour préserver au mieux l’unité, mais leur importance n’est pas secondaire.

CHRISTIAN GUILPIN - EDP SCIENCES

 

MANUEL DE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUÉ

 

Maître de Conférence, responsable de 1 ‘enseignement des mathématiques appliquées en maîtrise de Physique et Applications à l’université Paris VII-Denis Diderot - Sổ tay hướng dẫn giải quyết các bài toán vật lý bằng các công cụ toán học trong giải ticsh, nguyên hàm tích phân và đạo hàm

 

Ce livre de calcul appliqué trouve son origine dans un cours dispensé aux étudiants de maîtrise de physique et applications (MPA) À l’université Paris VII depuis 1984, ainsi que dans quelques préoccupations de recherche au laboratoire.

Ce manuel ne constitue pas à proprement parler un cours au sens usuel du mot, et si certains chapitres ont des liens évidents et s’enchaînent naturellement, d’autres, plus isolés, ont été réunis sous forme d’annexes pour préserver au mieux l’unité, mais leur importance n’est pas secondaire.

L’organisation de cet ouvrage vise à une présentation suffisamment concise et assimilable des algorithmes numériques fondamentaux, développés jusqu’à leur mise en œuvre, de telle sorte qu’ils soient susceptibles d’aider l’étudiant, le chercheur et l’ingénieur dans l’exercice quotidien de leur art: Il s’agit de pouvoir obtenir des résultats numériques convenables chaque fois qu’une méthode analytique fait défaut.

Pour ce qui concerne certains théorèmes très importants, nous nous sommes parfois borné à les énoncer sans les démontrer, le contraire eut risqué de nous éloigner de notre préoccupation majeure: Le résultat numérique cependant, les indications bibliographiques permettent d’obtenir aisément ces démonstrations qui sont classiques.

Les objectifs poursuivis se situent sur deux plans que l’on a coutume de séparer mais qui sont indissociables de notre point de vue: L’acquisition d’algorithmes numériques indispensable à la résolution de problèmes usuels et la maîtrise du traitement des données expérimentales selon la méthode statistique. Traiter les données de l’expérience impose l’usage de techniques numériques appropriées, et l’examen des résultats entachés d’erreur et d’incertitude impose l’usage de la statistique. La propagation des erreurs à travers les algorithmes relève d’une analyse subtile qui est éternellement omise tant elle est délicate. Nous avons tenté de l’effleurer et c’est une des raisons qui nous a poussé à développer l’étude des lois de distribution ainsi que leurs fondements dans une partie qui est davantage dévolue aux statistiques.

De même qu’il est impensable de vouloir apprendre à jouer du piano la veille de donner un concert, de même il est impensable de vouloir apprendre l’algorithmique numérique le jour où le besoin s’impose. Dans les deux cas, il convient de recourir aux gammes afin d’acquérir une solide expérience. En calcul numérique il n’y a pas de voie royale, et aucun algorithme n’est capable de fournir de résultats corrects quelles que soient les données fournies. Il est toujours possible de mettre en défaut une procédure et d’obtenir des résultats abérrants pourvu que l’on s’en donne la peine... Un très bel exemple est étudié à l’occasion de la résolution des systèmes linéaires dépendant d’une matrice de Hilbert.

L’expérience pratique prend alors toute sa valeur, et c’est ainsi que notre enseignement comporte une séance hebdomadaire de trois heures sur calculateur arithmétique. Peu importe le langage et la manière, seul le ôrésultat correct 8 compte et ce n’est pas une mince affaire que de se faire une opinion sur les erreurs qui entachent les résultats finals. Ensuite viendront éventuellement se greffer les problèmes d’élégance et d’optimisation.

En aucun cas, cet enseignement n’a pour but d’explorer et de recenser tous les algorithmes ayant trait à un type de problèmes. Nous avons voulu présenter ceux qui se sont montrés paradigmatiques soit sous l’angle de la simplicité soit sous l’angle de l’efficacité. Il s’agit de construire des programmes que nous aurons soigneusement testés, dont nous connaîtrons les limites et qui rempliront peu à peu notre boîte à outils.

Pour simplifier, nous dirons que ce livre peut se subdiviser en trois parties à savoir:

1. Études d’algorithmes numériques et leur mise en oeuvre.

2. Analyse statistique des résultats d’expériences.

3. Annexes, problèmes et corrigés.

Nous l’avons déjà dit, les deux premières parties interfèrent partiellement, et c’est une des raisons pour laquelle nous avons renoncé à présenter un ouvrage où tout ce qui est étudié dans un chapitre s’appuie nécessairement sur ce qui a été établi précédemment. Par souci d’unité nous avons préféré regrouper les titres par centre d’intérêt. Ainsi, il nous est apparu plus intéressant d’avoir rassemblé l’étude des polynômes orthogonaux plutôt que d’avoir dispersé l’information dans différents chapitres concernant l’interpolation et l’intégration numérique.

Il aurait été dommage de ne pas avoir abordé, ne serait-ce que rapidement, les méthodes de

Monte-Carlo d’une part, et les problèmes mal posés d’autre part. Ces domaines illustrent bien la synthèse des deux premières parties, d’autant plus qu’ils s’intègrent remarquablement dans les préoccupations des chercheurs et des ingénieurs. Qui, en physique, n’a pas eu à résoudre numériquement une équation de convolution? Qui n’a pas tenté la résolution d’un problème au moyen d’une simulation?

Pour terminer nous proposons un avant-dernier chapitre constitué d’un ensemble de problèmes et d’exercices qui illustrent quelques usages des méthodes qui ont été présentées; Ils servent également à éclairer quelques points de théorie qui seraient venus alourdir le cours s’ils avaient été intégrés dans les divers chapitres: On montre par exemple que le coefficient de conformité de Pearson obộit bien à une loi du x2. Le dernier chapitre donne les solutions des problèmes présentés.

La plupart des chapitres font l’objet d’une illustration et se terminent par des programmes écrits dans le langage C: Il s’agit du langage de base qui assure la portabilité. Ce point de vue s’explique par la facilité qu’il y a à changer de langage: Fortran, Pascal, etc., sans avoir grand chose à modifier dans le programme source. On n’est pas obligé de partager ces vues, mais il est très facile de modifier les programmes proposés pour qu’ils apparaissent moins ô archaïques”.

Pour en finir avec les algorithmes choisis et les programmes présentés, nous dirons qu’ils sont fournis sans garantie d’aucune sorte malgré le grand soin porté à ce travail. Ils peuvent comporter des imprécisions voire des imperfections, à ceci s’ajoute le fait qu’aucun algorithme n’est irréprochable dans la mesure où il est toujours possible de trouver des valeurs numériques qui le mette en défaut.

Bien sûr, nous formons le vœu que cet ouvrage puisse apporter une aide solide aux étudiants, ingénieurs et chercheurs pour lesquels il constituera un outil dont le rôle favorise la réalisation de sa propre boîte à outils.

La rédaction d’un ouvrage ne se réalise jamais dans l’isolement, et il m’a fallu bien des oreilles attentives, bien des lecteurs vigilants, bien des conseillers éclairés. L’instant est venu de remercier tous ceux qui, à quelque titre que ce soit, m’ont apporté une aide inconditionnelle, je citerai par ordre alphabétique: Claude Bardos, Jean Bornarel, Jacques Gacougnolle, Patricia Guilpin,

 


AVANT-PROPOS
1. GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCUL NUMÉRIQUE
1. La notion d’algorithme en calcul numérique
2. Le calcul numérique ne concerne que les nombres entiers
3. Le calcul numérique traite du problème pratique de l’approximation de fonctionsexplicites ou implicites
4. Solutions littérales et solutions analytiques
5. Que sait-on calculer rigoureusement?
6. Les erreurs et les incertitudes
7. Un problème difficile: La propagation des erreurs en calcul automatique
8. Réexamen des erreurs du point de vue statistique
9. Sur la représentation des nombres en machine
10. Éléments de bibliographie
2. QUELQUES ALGORITHMES ACCÉLÉRATEURS DE LA CONVERGENCE DES SUITES
1. L’algorithme A2 d’Aitken (1895-1967)
2. Le procédé d’extrapolation de Richardson (1881-1953)
3. Présentation de l’epsilon-algorithme scalaire
4. L’epsilon-algorithme vectoriel
5. L’epsilon-algorithme matriciel
6. Remarques et propriétés de l’epsilon-algorithme
7. Propriétés remarquables du procédé A2 d’Aitken et de l'epsilon-algorithme
8. Éléments de bibliographie
3. LESDÉVELOPPEMENTSASYMPTOTIQUES
1. Un exemple de développement asymptotique
2. Quelques propriétés utiles des développements asymptotiques
3. Développement asymptotique de quelques fonctions spéciales
4. Éléments de bibliographie
4. RÉSOLUTIONDES ÉQUATIONSNUMÉRIQUES
1. Généralités sur la résolution des équations f(x) =0
2. Résolution d’un système non linéaire de deux équations à deux inconnues
3. Racines d’un polynôme
5. ÉLÉMENTS DECALCULMATRICIEL
1. Multiplication de deux matrices
2. Résolution d’un système linéaire
3. Inversion d’une matrice carrée d’ordre n
4. Calcul des valeurs propres
5. Éléments de bibliographie
6. L'INTERPOLATION
1. De la légitimité de l’interpolation
2. Le polynôme de Lagrange (173661813)
3. Évaluation de l’erreur
4. Comment minimiser E(x)
5. Autre disposition pratique du calcul du polynôme de Lagrange
6. Cas où les abscisses sont en progression arithmétique
7. Les polynômes d’interpolation de Newton (164331727)
8. Le polynôme d’interpolation de Stirling (169221770)
9. Le polynôme d’interpolation de Bessel (178441846)
10. Erreurs commises en utilisant les polynômes d’interpolation
11. Programmes déterminant les polynômes d’interpolation
12. Interpolation par les fonctions-spline
13. Les fonctions-spline du troisième degré
14. Résolution d’un système linéaire dépendant d’une matrice tridiagonale
15. Une application simple des polynômes d’interpolation
16. L’algorithme d’interpolation d’Aitken (1932)
17. Approximation par une combinaison linéaire de fonctions
18. Éléments de bibliographie
7. LESPOLYNÔMESDELEGENDRE MÉTHODED'INTÉGRATIONDEGAUSS-LEGENDRE
1. Les polynômes de Legendre
2. Méthode d’intégration de Gauss-Legendre
8. LES POLYNÔMES DE TCHEBYCHEFF APPLICATION À LA MÉTHODE DE GAUSS-TCHEBYCHEFF
1. Les polynômes de Tchebycheff (1821-1894)
2. Une propriété essentielle des polynômes de Tchebycheff à coefficient principal réduit
3. Les racines des polynômes de Tchebycheff Tn+1 (x)
4. Calcul des poids Hk correspondant aux racines Xk du polynôme Tn+1(x)
5. Méthode d’intégration de Gauss-Tchebycheff
6. Calcul de l’intégrale  I = F(X)dz/[Sqr(x-a)(b-x)]; [-a,+a]
7. Calcul de l’erreur commise lors de l’approximation
8. Fonctions génératrices des polynômes de Tchebycheff
9. Un exemple d’intégration
9. LES POLYNÔMES DE LAGUERRE MÉTHODE D’INTÉGRATION DE GAUSS-LAGUERRE
1. Relation de récurrence entre trois polynômes consécutifs
2. Relation de récurrence faisant intervenir la dérivée
3. Les premiers polynômes de Laguerre
4. Calcul des coefficients des n premiers polynômes de Laguerre
5. Orthogonalité des polynômes de Laguerre
6. Calcul des racines des premiers polynômes de Laguerre
7. Calcul des poids HI, correspondant aux racines Xk
8. Calcul numérique des poids Hk associés aux racines
9. Calcul des intégrales du type I = Exp (-x) f(x)dx, [0, Infinity]
10. Calcul de l’erreur commise lors de’l’approximation
11. Fonction génératrice des polynômes de Laguerre
12. Calcul numérique de la transformée de Laplace
13. Appendice: Les polynômes de Laguerre généralisés
10. LES POLYNÔMES D’HERMITE LA MÉTHODE D’INTÉGRATION DE GAUSS-HERMITE
1. Relation de récurrence entre trois polynômes consécutifs
2. Relation de récurrence entre polynômes et dérivées
3. Les premiers polynômes d’Hermite
4. Calcul des coefficients des premiers polynômes d'Hermite
5. Orthogonalité des polynômes d’Hermite
6. Calcul des racines des premiers polynômes d’Hermite
7. Calcul des poids HI, correspondant aux racines xk
8. Technique de calcul des intégrales du type I = 7 exp (-x2/2) f(x) dz, [- Infinity, + Infinity]
9. Autres notations très utiles
10. Calcul de l’erreur commise lors de l’approximation
11. Fonction génératrice des polynômes d’Hermite
12. Éléments de bibliographie
.....................
....................
15. LES SÉRIES DEFOURIER
1. Petit aperçu historique
2. Orthogonalité des fonctions sinus et cosinus sur une période
3. Série de Fourier associée à une fonction périodique
4. Conditions d’égalité de f (x) Et de la série de Fourier associée
5. Quelques propriétés remarquables
6. Approximation des fonctions par une série de Fourier tronquée
7. Cas où la fonction est discontinue à l’origine
8. Le phénomène de Gibbs (1839-1903) Et l’epsilon-algorithme
9. Représentation des séries de Fourier avec un terme de phase
10. Écriture du développement sous forme complexe
11. Approximation des fonctions au sens de Tchebycheff
12. Application des séries de Fourier au filtrage numérique
13. À propos du développement des fonctions non périodiques
14. Calcul des séries de Fourier à coefficients approchés dans L2
15. Éléments de bibliographie
16. LESTRANSFORMÉESDEFOURIER
1. Extension des séries de Fourier au cas où la période est infinie
2. Conditions d’existence des transformées de Fourier dans les espaces L1 et L2
3. La transformée de Fourier dans l’espace L1
4. Les transformées de Fourier dans l’espace L2
5. Produit de convolution dans les espaces L1 ou L2
6. Sur le calcul numérique des transformées de Fourier
7. Cas des fonctions échantillonnées
8. Calcul par un algorithme ordinaire
9. L’algorithme de Cooley-Tukey (1915-)
10. Programmes de calcul des transformées de Fourier
11. Un problème fondamental: Quelle doit être la période d’échantillonnagede la fonction f(z)?
12. La distribution de Dirac (190221984)
13. Transformées de Fourier multidimensionnelles
14. Éléments de bibliographie
17. INITIATION AUX PROBLÈMES MAL POSÉS ÉQUATIONS INTÉGRALE~, SYSTÈMES LINÉAIRES MAL CONDITIONNÉS ETÉQUATIONSDECONVOLUTI~N
1. Un exemple de problème mal posé: Le calcul des séries de Fourier à coefficients approchés dans L2
2. L’équation intégrale de Fredholm (186661927) De première espèce
3. Notion de problèmes bien et mal posés
4. Méthode de régularisation
5. Application à la résolution approchée des équations intégralesde Fredholm de première espèce
6. Résolution d’un système linéaire mal conditionné
7. Résolution des équations de convolution
8. Bibliographie
18. INTRODUCTION AUX MÉTHODES DE MONTE-CARLO
1. Le problème de Buffon
2. Générateurs de nombres pseudo aléatoires à distribution uniforme
3. Calcul de 7r
4. Calcul d’une intégrale définie
5. Intégration de l’équation de Laplace en un point
6. Inversion d’une matrice carrée d’ordre n
7. Méthode du recuit simulé: Recherche du minimum absolu d’une fonction
8. Simulation d’autres lois de distribution
9. Éléments de bibliographie
19. ÉLÉMENTS DE CALCUL DES PROBABILITÉS
1. Introduction et notions fondamentales
2. Évaluation de la probabilité
3. Notion de variable aléatoire
4. Somme et produit d’événements. Théorèmes fondamentaux
5. Lois de répartition des variables aléatoires
6. L’inégalité de Bienaymé (1796-1878) - Tchebycheff
7. Le théorème de Bernoulli
8. Éléments de bibliographie
20. LA LOI BINOMIALE, LA LOI DE POISSON ET LA LOI DE GAUSS-LAPLACE
1. La loi binomiale, schéma de Bernoulli
2. Loi de Poisson
3. Loi de Gauss-Laplace
4. Changement de variable aléatoire dans les lois de répartition
5. Éléments de bibliographie
21. LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE
1. Définition et propriétés
2. La distribution du x
3. Éléments de bibliographie
22. LA LOI DU x2 ET LA LOI DE STUDENT
1. La loi du x2n
2. Distribution d’une somme de deux variables aléatoires indépendantesobộissant chacune à une distribution du x2n
3. La loi du J& à m degrés de liberté tend asymptotiquement vers la loi de Gaussquand m tend vers l’infini
4. Distribution d’une variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires indépendantes
5. La distribution de Student (W. Gosset) (187661937)
6. La distribution d’une somme de deux variables aléatoiresindépendantes obộissant à une distribution de Student est-elle encore une distributionde Student?
7. La loi de Student à m degrés de liberté tend asymptotiquement vers la loi de Gaussquand m tend vers l’infini
8. Éléments de bibliographie
23. SYSTÈMES À PLUSIEURS VARIABLES ALÉATOIRES
1. Généralités
2. Système de variables aléatoires, fonction de répartition
3. Variables aléatoires liées et indépendantes
4. Caractéristiques numériques, covariance, coefficient de corrélation
5. Généralisation au cas de plusieurs variables
6. Quelques théorèmes importants
7. Propriétés du coefficient de corrélation (démonstrations)
8. Éléments de bibliographie
24. CRITÈRES DE CONFORMITÉ
1. Généralités
2. Représentation des données numériques. Histogramme
3. Conformité entre une répartition théorique et une répartition expérimentale (ou répartition statistique)
4. Le x2n de Pearson (1857-1936)
5. Critère de Kolmogorov (190331987)
6. Estimation des paramètres d’une loi inconnue. Estimateurs
7. Éléments de bibliographie
25. ÉTUDE DES DÉPENDANCES DANS LE CAS LINÉAIRE
1. Les types de schémas de dépendance linéaire
2. Fondements de l’analyse de corrélation-régression
3. Conclusions
4. Éléments de bibliographie
26. ANALYSE DE CORRÉLATION ET DE RÉGRESSION
1. La corrélation
2. Régression linéaire
3. Éléments de bibliographie


ANNEXES


A. LES SUITES DE STURM. APPLICATION À LA DÉTERMINATION DU NOMBRE DE RACINES RÉELLES D’UN POLYNÔME
1. Notion de variations d’une suite numérique
2. Suite de Sturm générée à partir d’un polynôme
3. Quelques propriétés des suites de Sturm
4. Le théorème de Sturm (1829)
5. Disposition des calculs, schéma de Routh (1831-1907)
6. Quelques exemples de suites de Sturm
7. Mise en œuvre du théorème de Sturm
8. Éléments de bibliographie


B. POLYNÔMES ORTHOGONAUX RELATIVEMENT À UNE FONCTION POIDS GÉNÉRALISATIONDELAMÉTHODEDEGAUSS
1. Généralisation de la notion de polynômes orthogonaux
2. Décomposition d’une fonction f
(z) Sur la base des polynômes IV~ (Z) Orthogonauxsur l’intervalle (u, b)
3. Racines des polynômes orthogonaux
4. Relation de récurrence entre trois polynômes orthogonaux consécutifs
5. Généralisation de la méthode de Gauss
6. Expression de l’erreur en remplaçant 1 par J
7. Éléments de bibliographie


C. LES FRACTIONS CONTINUES
1. Un exemple de fraction continue
2. Les fractions continues finies
3. Les fractions continues infinies
4. Développement en fraction continue à partir d’un développementen série entière
5. Développement en fractions continues de séries usuelles
6. Développement en fraction continue à partir d’un produit infini
7. Éléments de bibliographie


D. LESAPPROXIMANTSDEPADÉETDEMAEHLY
1. Le théorème fondamental de Padé
2. Sur le calcul effectif des coefficients
3. Estimation de l’erreur commise
4. Développements de quelques fonctions en approximants de Padé
5. Généralisation des approximants de Padé, méthode de Maehly
6. Erreur liée à l’usage des approximants de Maehly
7. Difficultés liées à la recherche d’une généralisation
8. Éléments de bibliographie


E. CALCULDESFONCTIONSDEBIBLI~THÈQUEÉLÉMENTAIRES
1. Calcul de exp
(z) Pour x appartenant à (-CO, + Oo)
2. Calcul de sin
(z) Et COS (X) Pour 2 appartenant à (-CO, $00)
3. Calcul de loge
(z) Pour z appartenant à (0, + Oo)
4. Calcul de tangente et cotangente pour 5 appartenant à (-00, + ~CI)
5. Calcul de argtanh
(z) Pour z appartenant à (0, l)
6. Calcul de arctan pour z appartenant à (0, + Co)
7. Calcul de arcsin et arccos pour 2 appartenant à (0, l)
8. Calcul de la racine carrée pour 2 appartenant à (0, oo)
9. Éléments de bibliographie


F. CALCULNUMÉRIQUEDES FONCTIONSDEBESSEL
1. L’équation différentielle des fonctions de Bessel (1784
2. Relations de récurrence
3. Représentation de Jy
(z) Par une intégrale définie
4. Technique de calcul
5. Calcul de l’erreur sur Jo(z)
6. Éléments de bibliographie1846)


G. ÉLÉMENTS SUCCINCTS SURLETRAITEMENTDU SIGNAL
1. Puissance et énergie d’un signal
2. La corrélation et ses propriétés
3. Applications de la corrélation.,4. La convolution
5. Notions sur le filtrage
6. Notion de bruit
7. Éléments de bibliographie

 


H. PROBLÈMESETEXERCICES
1. Généralités sur le calcul numérique
2. Algorithmes accélérateurs de la convergence des suites
3. Les développements asymptotiques
4. Résolution des équations numériques
5. Éléments de calcul matriciel
6. L’interpolation
7. Intégration des équations différentielles dans le champ réel
8. Intégration des équations aux dérivées partielles
9. Les transformées de Fourier
10. Introduction aux méthodes de Monte-Carlo
11. Éléments de calcul des probabilités
12. Lois (Binomiale, Poisson, Gauss-Laplace)
13. La fonction caractéristique
14. La loi du x2 et la loi de Student
15. Systèmes à plusieurs variables aléatoires
16. Critères de conformité
17. Étude des dépendances dans le cas linéaire
18. Analyse de corrélation
19. Les fractions continues
20. Éléments de traitement du signal

 


I. CORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXERCICES
1. Généralités sur le calcul numérique
2. Algorithmes accélérateurs
3. Les développements asymptotiques
4. Résolution des équations numériques
5. Éléments de calcul matriciel
6. Interpolation
7. Intégration des équations différentielles dans le champ réel
8. Intégration des équations aux dérivées partielles
9. Les transformées de Fourier
10. Introduction aux méthodes de Monte-Carlo
11. Éléments de calcul des probabilités
12. Lois
13. La fonction caractéristique
14. La loi du x2 et la loi de Student
15. Systèmes à plusieurs variables aléatoires
16. Critères de conformité
17. Étude des dépendances dans le cas linéaire
18. Analyse de régression-corrélation
19. Les fractions continues
20. Éléments de traitement du signal

 


INDEX

 

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